${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{x}-2\mathrm{y}+1=0$ বৃত্তটি ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2={\mathrm{a}}^2$ বৃত্তকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে a এর মান কত?

প্রশ্নে দেওয়া দুটি বৃত্তের সমীকরণ হলো:

1. **প্রথম বৃত্ত**:  
  \[
  x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0
  \]
  
2. **দ্বিতীয় বৃত্ত**:  
  \[
  x^2 + y^2 = a^2
  \]

আমরা প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় করে সমাধান করব, কারণ প্রশ্ন অনুযায়ী প্রথম বৃত্তটি দ্বিতীয় বৃত্তকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করছে।

---

### ধাপ ১: প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয়
প্রথম বৃত্তের সমীকরণ:
\[
x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0
\]

এটি সম্পূর্ণ বর্গে পরিণত করতে হবে।

#### \(x\)-এর জন্য:
\[
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
\]

#### \(y\)-এর জন্য:
\[
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
\]

এগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই:
\[
(x + 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + 1 = 0
\]

\[
(x + 1)^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0
\]

\[
(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1
\]

#### সুতরাং, প্রথম বৃত্তের:
- **কেন্দ্র**: \((-1, 1)\)
- **ব্যাসার্ধ**: \(\sqrt{1} = 1\)

---

### ধাপ ২: দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ:
\[
x^2 + y^2 = a^2
\]

এটির:
- **কেন্দ্র**: \((0, 0)\)
- **ব্যাসার্ধ**: \(a\)

---

### ধাপ ৩: অন্তঃস্থভাবে স্পর্শের শর্ত
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে, তাদের কেন্দ্রের দূরত্ব এবং ব্যাসার্ধের পার্থক্য সমান হয়। অর্থাৎ:
\[
\text{কেন্দ্রের দূরত্ব} = \text{বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ} - \text{ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ}
\]

#### কেন্দ্রের দূরত্ব:
দুটি বৃত্তের কেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং \((0, 0)\)-এর মধ্যে দূরত্ব হলো:
\[
\sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]

#### ব্যাসার্ধের পার্থক্য:
\[
a - 1 = \sqrt{2}
\]

সুতরাং:
\[
a = \sqrt{2} + 1
\]

---

### চূড়ান্ত উত্তর:
\[
a = \sqrt{2} + 1
\]